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38博士论文分子大小的新测定法第1部分38（第2页）

u1，υ1，w1是刚性球P引起的附近液体运动的改变，在无限远的区域内，其值为0，即无限远处刚性球P已经不再引起液体运动的改变。

论述完上面的运动方程设定后，爱因斯坦就直接引用了液体的速度函数u，υ，w必定满足的流体动力学方程（注：德国物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫的《力学讲义》），此为公式3，包含两个方程（也是业余人士开始看不懂的地方）：

δpδξ=k△u（δpδη）=k△υ（δpδζ）=k△w，

δuδξ+δυδη+δwδζ=0。

其中，△代表算符：δ2δξ2+δ2δη2+δ2δζ2，p代表流体静压力，k是液体的内摩擦系数。

《爱因斯坦全集》注解在此说道：“这一行的最后一个方程的右边少了一个因子k，这个错误在《爱因斯坦1906a》中已经改正。”

根据基尔霍夫《力学讲义》中提出的方法，爱因斯坦对公式3做了计算，并得出了液体的静压力p和速度u，υ，w，结果为公式4，包含四个方程：

p=（-5kP3）3·[Aδ2（1ρ）δξ2+Bδ2（1ρ）δη2+Cδ2（1ρ）δζ2]+常数，

u=Aξ-（5AP3）ξρ3-δDδξ，

υ=Bη-（5BP3）ηρ3-δDδη，

w=Cζ-（5CP3）ζρ3-δDδζ。

《爱因斯坦全集》注解16在此说道：“方括号中最后一项的分子应该是δ2（1ρ），《爱因斯坦1906a》已改正。”

其中，参数D为：

D=A[（5P36）δ2ρδξ2+（P56）δ2（1ρ）δξ2]+B[（5P36）δ2ρδη2+（P56）δ2（1ρ）δη2]+C[（5P36）δ2ρδζ2+（P56）δ2（1ρ）δζ2]

论文中，爱因斯坦对公式4又做了一番解释和推导论证，也比较数学化，对论文整体的思路影响不大，故此处不再提及，公式4的意义就是爱因斯坦根据自己对研究论题的设定条件和基尔霍夫《力学讲义》中提出的流体动力学方程给出了液体的静压力p和速度u，υ，w的计算公式，为后面的理论推导做了一定的准备工作。

接着，爱因斯坦又从能量角度对设定的液体运动做了推导，设定在坐标点x0，y0，z0处安放一个半径比刚性球P无限大的球R（其实是划定了一定范围的液体），目的则是计算出球里面的液体中每单位时间转变为热的能量W。至于为什么算这个，其实还是为了从不同的角度推导出微观与宏观联系的参数，以便联立方程组，由宏观实验数据求出微观未知参数。

爱因斯坦在论文中论证说球里面的液体中每单位时间转变为热的能量W等于对球里面的液体所做的机械功，设作用在半径为R的球面上的压力分量为Xn，Yn，Zn，则热量W由公式5决定：

W=∫（Xn·u+Yn·υ+Zn·w）ds

其中，积分的范围遍及半径为R的整个球面。公式5还包含下面9个分方程：

Xn=-（Xξξρ+Xηηρ+Xζζρ），

Yn=-（Yξξρ+Yηηρ+Yζζρ），

Zn=-（Zξξρ+Zηηρ+Zζζρ），

Xξ=p-2kδuδξ，Yζ=Zη=-k（δυδζ+δwδη），

Yη=p-2kδυδη，Zξ=Xζ=-k（δwδξ+δuδζ），

Zζ=p-2kδwδζ，Xη=Yξ=-k（δuδη+δυδξ）。

《爱因斯坦全集》注解21在此说道：

将公式4的液体的静压力p和速度u，υ，w代入公式5，并经过一定的简化处理和复杂的数学运算，则算出了热量W的表达式，得到公式6：

W=（8πR3kδ2）3-（4πP3kδ2）3=2δ2k（V-Ф2）

其中，

δ2=A2+B2+C2，

（4πR3）3=V，

（4πP3）3=Ф

V是划定的半径为R的液体体积，φ是悬浮球P所占的体积。

《爱因斯坦全集》注解31在此说道这个方程应该是：

《爱因斯坦全集》注解32说道：

这些注解的意思是爱因斯坦最初提交并发表的博士学位论文有几处计算错误，当然，并不影响论文整体的研究思路，但最终给出的计算结果与正确结果有偏差，后来论文中的几处错误几经修正下才被改正彻底，得出了更准确的计算结果。

公式6就是论文第一部分得出的最后结果，结论是通过热量W将一定范围的液体（即溶液）体积与悬浮球（即单个溶质）体积联系了起来，为后面的更复杂的多溶质的处理，以及微观与宏观的联系做了准备工作。