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40关于布朗运动的论文1905 5 1140（第2页）

将公式6代入公式4可得物理体系自由能F为公式7：

F=（-RTN）·（lgJ+nlgV*）

将公式7对部分体积V*求导即得渗透压p公式8（注：溶质和悬浮球都适用）：

p=-?F?V*=（RTV*）·（nN）=（RTN）·v

（注：公式7到公式8的推导为，lgJ为常数，求导为0，nlgV*对V*求导为nV*，由此可得公式8。）

公式8即为第一部分最后爱因斯坦提出的渗透压P公式2，由此就从理论方面证明了第一部分最后提出的假设：“这个考查表明了：渗透压的存在，是热的分子运动论的一个结果；并且按照这种理论，同等数目的被溶解分子和悬浮体，在很稀淡的情况下，对于渗透压来说，是完全一样的。”

第二部分就此正式结束了。到此为止，爱因斯坦在论文中证明了渗透压P对溶液中非电解的溶质和悬浮球是等效的，第三部分题为《悬浮小球的扩散理论》，这一部分主要目的是理论推导出了含有悬浮小球的扩散系数，为最终计算悬浮小球的扩散距离做准备。

在第三部分爱因斯坦首先设定了研究场景：假设有许多悬浮粒子（单位体积所含悬浮粒子数目为v）无规则地分布在一种液体里面，在动态平衡状态中，有一个同位置有关而同时间无关的力K作用在单个粒子上，力K无论在哪里都取X轴方向。

接下来的理论推导以自由能变分公式为核心，爱因斯坦指出在热动态平衡的情况下，自由能对于悬浮质的任意虚位移的变分δx等于零，此为公式9，包含三个方程：

，

δF=δE-TδS=0，δE=-∫ι0Kvδxdx，

δS=∫ι0（RvN）·（?δx?x）·dx=（-RN）·∫ι0（?v?x）·δxdx

其中，δ是变分算符，F是自由能，E是能量，T是热力学温度，S是熵。液体垂直于X轴，以x=0和x=ι两个平面作为边界。（注：变分是一种数学方法，用于寻找函数的极值，它的核心思想是对给定的函数进行微小的变化，然后看这些变化对函数值的影响，其运算法则类似于微积分。）

由公式9变换可得公式10：-Kv+（RTN）·（?v?x）（公式10-1）

或者Kv-（?p?x）=0（公式10-2）

（注：结合渗透压P公式8：P=-?F?V*=（RTV*）·（nN）=（RTN）·v可由公式10-1变为10-2。即=?p?v=RTN，将其代入公式10-1，则变为公式10-2。）

爱因斯坦在论文中对于公式10-2进行了简短的评论：“最后一个方程表明，对于K力的平衡是靠渗透压力而实现的。”

为了计算悬浮质（悬浮小球）的扩散系数，爱因斯坦又拿出了基尔霍夫《力学讲义》中的公式计算悬浮质速度：w=K（6πkP），此为公式11，

其中w是单个悬浮粒子速度，K是作用在悬浮粒子上的力，k是液体的摩擦系数，P是悬浮粒子半径。

由公式11可知，单位时间穿过单位面积的横截面的悬浮粒子数为公式12：

vK（6πkP）

由扩散系数D也可以计算单位时间穿过单位面积的横截面的悬浮粒子数为公式13：-D·（?v?x），其中?v?x为悬浮粒子在X轴方向的浓度梯度。

公式12等于公式13，再由公式10-1得出的浓度梯度?v?x代入，可得悬浮小球扩散系数D：D=RT（N·6πkP），此为公式14。

公式14就是第三部分的最终结论，爱因斯坦在论文中简单评述了公式14的物理含义：“因此，悬浮质的扩散系数，除了依存于一些普适常数和热力学温度之外，只是依存于液体的摩擦系数和悬浮粒子的大小。”

至此，论文第三部分正式结束，到目前为止，爱因斯坦理论推导了悬浮小球的渗透压和扩散系数，接下来第四部分就要理论推导悬浮小球扩散导致的具体可验证的宏观表现，其题为《液体中悬浮粒子的不规则运动及其同扩散的关系》，在这一部分，爱因斯坦设定在一液体中总共有n个悬浮粒子，经过时间间隔τ，单个粒子的X坐标增加量以△表示，其对于每个粒子都有一个不同的正的或者负的值，则在时间间隔τ内经历了处于△和△+d△之间的位移的粒子数dn可由方程15来表示：dn=n·ψ（△）·d△，

其中，ψ只对非常小的值才不是零（注：满足粒子活动的微观性），并且满足条件ψ（△）=ψ（-△）（注：满足粒子活动的对称、均一性），而∫+∞-∞ψ（△）d△=1。

单位体积的粒子数v只同空间坐标x和时间t有关，以函数?表示：v=?（x，t），则t+τ时位于两个垂直于X轴并具有横坐标x和x+dx的平面之间的粒子数为公式16：

?（x，t+τ）dx=dx·∫+∞-∞?（x+△）ψ（△）d△

（注：公式16的右边是从左边换算过来的，根据微积分的运算法则可以变换过来，其中?（x+△）对应t时刻，空间坐标变化x+△的粒子数变化，ψ（△）d△对应空间坐标x，时间坐标变化t+τ的粒子数变化。）

剩下的工作就是一系列对公式16的简化处理，以得到最终想要的结果。

首先，因为时间间隔τ很小，所以，公式16可以简化为公式17：

?（x，t+τ）=?（x，t）+τ·（???t）

其次，按△的幂展开函数?（x+△）为公式18：