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46狭义相对论第45部分46(第2页)

将公式10洛伦兹变换公式代入公式12,可得公式13:

x=[(wξ+υ)(1+υ·wξV2)]·t,

y={wη·√[(1-υ2V2)](1+υ·wξV2)}·t,

z=0。

由速度的平行四边形叠加法则,从静系K考察,质点速度U由公式14决定:

U2=(dxdt)2+(dydt)2。

其中,由公式13对t求导可知,=dxdt=(wξ+υ)[(1+υ·wξV2)],

=dydt=√[(1-υ2V2)](1+υ·wξV2)。

由速度的平行四边形叠加法则和三角函数可知:

w2=wξ2+wη2,wξ=w·cosα,wη=w·sinα。

其中,α为动系k相对于静系K的速度v和质点速度w之间的交角。

将上述导数和速度值代入公式14可得公式15:

U=√{[(υ2+w2+2υw·cosα)-(υw·sinα)2][1+υw·cosαV2]}

特别情况下,当质点速度w方向为动系中的Ξ轴或者静系中的X轴时,交角α为0°,即动系k相对于静系K的速度v和质点速度w同向时,公式15变为公式16:

U=(υ+w)(1+υwV2)。

由公式16可知,由两个小于光速V的速度合成而得的速度总是小于光速,具体证明如下,设υ=V-k,w=V-l,代入公式16则为:

U=V(2V-k-l)(2V-k-l+klV)

同时,由公式16还可以看出,光速V不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变,依然为光速V。设动系k相对于静系K的速度v为光速V,将其代入公式16可得:

U=(υ+w)(1+wV)=V。

在第五部分的最后,爱因斯坦还提到了另一种速度变换的情况,引入第三个坐标系k′,其原点在动系k的Ξ轴以速度w运动,则静系K与第三个坐标系k′的关系也可以用公式10的洛伦兹变换处理,与动系k的区别仅仅是将动系k相对于静系K的速度v改为公式16算出的U即可。也就是说动系k原点相对于静系K速度为v,第三个坐标系k′原点相对于静系K的速度为U=(υ+w)(1+υwV2)。

讨论完上面的几种速度变换后,爱因斯坦以一句话结束了论文第五部分,也结束了论文的第一大部分运动学部分,并预告下面的部分讨论第二大部分电动力学部分:“我们现在已经依照我们的两条原理推导出运动学的必要命题,我们要进而说明它们在电动力学中的应用。”

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