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45狭义相对论第3部分洛伦兹变换45（第1页）

爱因斯坦45狭义相对论第3部分洛伦兹变换

第三部分题为《从静系到另一个相对于它做匀速移动的坐标系的坐标和时间的变换理论》，这一部分是论文，也是狭义相对论的核心理论推导环节，推导出了著名的洛伦兹变换。

在这一部分，爱因斯坦首先设定静系K坐标轴为XYZ，以其衡量的质点坐标值为xyz和对静系同步的时间t（同步方法为第一部分提出的同时性或同步性判定方法tB-tA=tA′-tB），动系k坐标轴为ΞHZ，以其衡量的质点坐标值为εηζ和对动系同步的时间τ。两个坐标系的X轴和Ξ轴重合，YZ轴和HZ轴平行，动系k坐标系相对于静系K坐标系以速度v沿X轴x值增加方向移动。

设静系K中一质点x′运动方程为：x′=x-vt，则质点相对于动系k来说为静止状态，动系时间τ为空间坐标和时间坐标值x′、y、z和t的函数。

做完上述设定后，爱因斯坦设计了思想实验，着重从动系k角度分析了动系时间τ。设从动系k系的原点（此处设定静系和动系坐标系原点在静系时间t时，即动系时间τ0时，重合）在动系时间τ0发射一道光线，沿着X轴（Ξ轴）射向x′，在动系时间τ1时从x′那里反射回动系k坐标系的原点，而在动系时间τ2时到达，则有下列公式2：（τ0+τ2）2=τ1

（注：由于质点x′对动系k来说是静止的，所以从动系k角度衡量，公式2肯定成立。）

引入τ为x′、y、z和t的函数的设定和光速不变原理，从静系考察可将公式2具化为公式3：

{τ（0，0，0，t）+τ[0，0，0，（t+x′（V-υ）+x′（V+υ））]}=τ[x′，0，0，t+x′（V+υ）]

[注：τ0为τ（0，0，0，t），即动系时间τ0从动系k衡量其空间坐标为0，0，0，时间为静系时间t，类似第二部分最后验证是否同时的公式1中的tA；

Τ2为τ[0，0，0，（）（t+x′（V-υ）+x′（V+υ））]，即动系时间τ2从动系k衡量其空间坐标为0，0，0，时间为静系时间t+x′（V-υ）+x′（V+υ），算法参照第二部分最后验证是否同时的公式1，类似tA′；

Τ1为τ（x′，0，0，t+x′（V+υ）），即动系时间τ1从动系k衡量其空间坐标为x′，0，0，时间为静系时间t+x′（V+υ），算法参照第二部分最后验证是否同时的公式1，类似tB。]

将公式3对x′求导，得公式4：

12[1（V-υ）+1（V+υ）]·?τ?t=?τ?x′+1（V-υ）·?τ?t，即?τ?x′+υ（V2-υ2）·?τ?t=0。

[注：τ（0，0，0，t）对x′求导为0；

τ[0，0，0，（t+x′（V-υ）+x′（V+υ））]对x′求导（多元复合函数求导）为[1（V-υ）+1（V+υ）]·?τ?t；

τ（x′，0，0，t+x′（V+υ））对x′求导（多元复合函数求导）为?τ?x′+1（V-υ）·?τ?t。]

推导到公式4这，爱因斯坦在论文中对选择坐标原点为光线出发点做了一句说明：“应当指出，我们可以不选坐标原点，而选任何别的点作为光线的出发点，因此刚才所得到的方程（注：公式4）对于x′、y、z的一切数值都该是有效的。”

由于质点x′在静系的YZ轴以及动系的HZ轴都没有运动，相对于这几个坐标轴为静止状态，所以?τ?y=0和?τ?z=0，爱因斯坦论文中对这两个关系给出的说明为：“做类似的考察用在H轴和Z轴上并且注意到，从静系看来，光沿着这些轴传播的速度始终是√（V2-υ2），这就得到：?τ?y=0，?τ?z=0。”

（注：考察H轴或Y轴过程为：设从动系k系的原点在动系时间τ0发射一道光线，沿着H轴射向质点y，在动系时间τ1时从y那里反射回动系k坐标系的原点，而在动系时间τ2时到达，则有下列公式：（τ0+τ2）2=τ1。

引入τ为x′、y、z和t的函数的设定和光速不变原理，此处，从动系k考察τ0τ1τ2空间坐标分别为（0，0，0）、（0，y，0）和（0，0，0）；

时间坐标由静系K具体考察τ1如下，由静系K看来，光线沿动系H轴传播的轨迹为斜线，斜线方向光速为V，即爱因斯坦在论文中强调的从静系Y轴考察此处光速为√（V2-υ2），X轴或Ξ轴方向运动距离为v（τ1-τ0），H轴运动距离为y，则根据勾股定理斜线方向移动距离=[v（τ1-τ0）2+y2]的开方，根据斜线方向光速为V，则τ1-τ0=√[v（τ1-τ0）2+y2]V，整理得τ1-τ0=y√（V2-v2），则τ1时刻时间坐标由静系考察为t+y√（V2-v2）；

时间坐标由静系K具体考察τ2如下，由静系K看来，光线沿动系H轴传播的轨迹为斜线，斜线方向光速为V，X轴或Ξ轴方向运动距离为v（τ2-τ1），H轴运动距离为y，则根据勾股定理斜线方向移动距离=√[v（τ1-τ0）2+y2]，根据斜线方向光速为V，则τ2-τ1=√[v（τ2-τ1）2+y2]V，整理得τ2-τ1=y√（V2-v2），结合上面的τ1-τ0=y√（V2-v2），则τ2时刻时间坐标由静系考察为t+y√（V2-v2）+y√（V2-v2），即τ2=t+2y√（V2-v2）；

将上面的空间坐标和时间坐标代入（τ0+τ2）2=τ1，可得：12{τ（0，0，0，t）+τ[0，0，0，t+2y√（V2-v2）]}=τ（0，y，0，t+y√（V2-v2））

将上式对y求导可得：12[0+?τ?t·2√（V2-v2）]=?τ?y+?τ?t·1√（V2-v2），即?τ?t√（V2-v2）=?τ?y+?τ?t√（V2-v2），减去左右两边相同项则得?τ?y=0，同样过程可得?τ?z=0。）

求解偏微分方程公式?τ?x′+υ（V2-υ2）·?τ?t=0，?τ?y=0和?τ?z=0，可得公式5：

τ=a[t-υx′（V2-υ2）]

其中，a为未知函数ψ（υ）。

（注：由公式4可知τ是线性函数，设τ=at+bx′，将其代入公式4：?τ?x′+υ（V2-υ2）·?τ?t=0，求出b=-avx′（V2-v2），将其代入τ=at+bx′，可得τ=a[t-υx′（V2-υ2）]，此处的a还不是公式5中的a，只是未知数代号习惯用法时偶然用了相同的代号而已，τ=at+bx′完全可以写成τ=ct+dx′，不影响结果。而且这里只是根据公式4求出的τ，严格来说还没有加入?τ?y=0和?τ?z=0的步骤，因为他们导数为0，积分为0，所以τ对x′，y，z三个变量的积分等于τ=a[t-υx′（V2-υ2）]。

同时，在这一部分的讨论开始阶段，爱因斯坦就直接提出了空间坐标和时间坐标变换的方程为线性方程：“首先，这些方程显然应当都是线性的，因为我们认为空间和时间是具有均匀性的。”）

求出动系k的时间τ公式5后，爱因斯坦接着以其为基础考察了动系的坐标值εηζ，具体过程如下，在时间τ=0时向ε增加的方向发射出去的一道光线，其方程为：ε=Vτ=aV[t-υx′（V2-υ2）]。

从静系K中量度，这道光线以速度V-v相对于动系k的原点运动着（注：根据光速不变，光线相对于静系K速度为V，动系k的原点相对于静系K速度为v，则从静系K考察光线相对于动系k的原点速度为V-v），因此得到：t=x′（V-v），将其代入上面的公式可得公式6：ξ=ax′V2（V2-υ2）

用类似的方法，考察沿着另外两根轴走的光线，可知η=Vτ=aV·[t-x′υ（V2-υ2）]，其中y（√（V2-υ2）=t）