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57关于布朗运动的理论第35部分57（第1页）

爱因斯坦57关于布朗运动的理论第3-5部分

第三部分题为《由热运动引起的参数α的变化》，这一部分也是方程4的应用，不过不是第二部分简单应用场景的使用，而是研究目标深入了一层，探讨起了很大数目（n）的全同体系问题，根据方程4，在N个体系中在任意选定的时刻体系参数α处于α和α+dα之间的体系个数dn为方程8：

dn=je-（NΦ）（RT）da=F（a）da

其中，dn是体系参数α处于α和α+dα之间的体系个数。

对提出方程8的目的和作用，爱因斯坦在论文中做了一段文字说明：“我们要用这个关系（注：方程8）来求由不规则的热过程所引起的参数α的不规则变化的量值。为此目的，我们用符号来表示：在时间间隔t内，在对应于势Φ的力同不规则的热过程的联合作用下，函数F（α）不起变化；这里的t表示如此短的时间，以致单个体系的α这个量的相应变化可以被看做是函数F（α）的自变数的无限小变化。”

这段说明指出了物理体系参数α的不规则变化由对应于势Φ的力和不规则的热过程两方面原因导致，而这一部分的目的求解的是不规则的热过程单方面导致参数α变化的幅度。

做了这段说明后，爱因斯坦对后文提到的坐标χ进行了设定，从这里开始论文的思路进入凡人难解的阶段：“如果我们在一条直线上，从一个确定的零点出发，划出一些数值上都等于α量的线段（注：即布朗运动中花粉移动距离），那么每一个体系都在这条直线上对应于一个点（α）。F（α）是体系点（α）在直线上的配置密度。在时间t内，这种体系点在一个方向上通过直线上的一个任意点（α0）的数目，同相反方向上通过的数目必定完全一样。”

这段设定提出了坐标χ的含义，其坐标基本单位为“等于α量的线段”，物理体系则以点（α）的χ坐标值来表示，F（α）则是点（α）在直线上的配置密度。最后一句话是一个物理体系平衡条件的设定，体系点在正反方向通过一个任意点的数目必定相等。

做了这几点设定后，爱因斯坦在论文中就进入了正式的理论推导阶段。首先，对应于势Φ的力引起的参数α量值变化△1为方程9：

Δ1=-Bt·?Φ?α

其中，B为体系关于α的迁移率，其值同α无关；此方程说明的是α的变化速度同作用力成比例，而同参数α的值无关。

单纯由于对应于势Φ的力引起，不考虑不规则的热过程的影响，在时间t内在负的方向通过任意点（α0）的体系点数目n1，根据方程9可得，其为方程10：

n1=-BtF（α0）·（?Φ?α）α=α0

考察了对应于势Φ的力对体系点的影响后，爱因斯坦又开始考察不规则的热过程的影响，并做出了进一步的参数设定：“进一步假设：一个体系的参数α在时间t内由于不规则的热过程而经受的变化的值处于△和△+d△之间的几率等于ψ（△），此外ψ（△）=ψ（-△），而ψ是同α无关的。”

因此，由于不规则的热过程，在时间t内，在正方向上通过任意点（α0）的体系点数目n2，根据方程8最右边可得，其为方程11：

n2=òF（α0-Δ）·χ（Δ）dΔ（积分上下限为∞和0）。

F（α0-Δ）表示体系点是从负方向朝着正方向通过任意点（α0）的。

在方程11这论文中首次以χ（Δ）的形式出现了坐标χ，前面只有那句“如果我们在一条直线上，从一个确定的零点出发，划出一些数值上都等于α量的线段，那么每一个体系都在这条直线上对应于一个点（α）。”的文字说明。

在方程11的后面，爱因斯坦紧接着列出了ψ（Δ）同χ（Δ）的关系式方程12：

òψ（Δ）dΔ=χ（Δ）（积分上下限为∞和0）。

（注：ψ（Δ）为体系的参数α在时间t内由于不规则的热过程而经受的变化的值处于Δ和Δ+dΔ之间的几率。）

方程12的含义是体系参数α在时间t内由于不规则的热过程而经受的极小变化dΔ与其概率ψ（Δ）的积分就是考察的坐标轴上χ（Δ），即体系点的变化量。

由于不规则的热过程，在时间t内，在负方向上通过任意点（α0）的体系点数目n3，根据方程8最右边可得，其为方程13：

n3=òF（α0+Δ）·χ（Δ）dΔ（积分上下限为∞和0）。

出于体系点配置密度函数F的不变性，有关系式14：-n1+n2-n3=0

将方程10、11和13代入，可得方程15：

B（?Φ?α）α=α0·F（α0）t+12F′（α0）Δ2=0

其中，Δ2=òΔ2ψ（Δ）dΔ（积分上下限为+∞和-∞），此为关系式16。

关系式16表示在时间t内由不规则的热过程所引起的量α变化的平方的平均值，爱因斯坦在论文中通过一句话的过渡就直接给出了本部分最终的结论公式，即布朗运动的花粉运动公式17：“从这个关系式（注：关系式16），考虑到方程8，我们得到：√Δ2=√（2RBTtN）。”

之后，在一段给公式17的参数说明中，爱因斯坦结束了第三部分：“这里R是气体方程的常数（8。31×107），N是每摩尔气体中实际分子的数目（大约为4×1023。注：1922年爱因斯坦推出了更准确的数字为6。56×1023），B是体系关于参数α的迁移率，T是热力学温度，t是由于不规则的热过程所引起的α的变化所经历的时间。”

关于由关系式16到公式17的过渡：

因为òψ（Δ）dΔ=χ（Δ），所以关系式16可变为Δ2=òΔ2χ（Δ），因为χ（Δ）是体系点运动方向坐标轴的体系点坐标值，实际代表了体系点的个数，因此，其满足方程8的关系，即χ（Δ）等价于方程8中的体系个数dn，这也是爱因斯坦在那句文字说明中提到“考虑到方程8”的原因。

因此，将方程8代入Δ2=òΔ2χ（Δ），将Δ看做方程8中的α，再积分就得出了公式17。其中势Φ由类似方程9：Δ1=-Bt·?Φ?α的关系给出。

限于目前的微积分水平，笔者暂时给出了下面不太严谨的推导：

给公式17的参数做了一段文字说明后，论文《关于布朗运动的理论》第三部分就结束了，第四部分题为《把推导出的方程应用于布朗运动》，剩下的这两部分不太涉及复杂的微积分运算，只是公式17的简单应用，但也能看出公式17威力的强大，不枉爱因斯坦一番理论推导和读者的一番烧脑。

在第四部分，爱因斯坦首先用公式17计算了一个悬浮在液体中的球形物体在时间t内在一定方向（坐标系的X轴方向）上所经历的平均位移，这个问题就是前一篇关于布朗运动的论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》所要解决的核心问题，现在利用公式17来解决，那感觉就像砍瓜切菜那么轻松愉快。

首先，根据基尔霍夫《力学讲义》中计算悬浮质速度的公式为（本作《爱因斯坦40》中的公式11）：w=K（6πkP）