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46狭义相对论第45部分46（第2页）

将公式10洛伦兹变换公式代入公式12，可得公式13：

x=[（wξ+υ）（1+υ·wξV2）]·t，

y={wη·√[（1-υ2V2）]（1+υ·wξV2）}·t，

z=0。

由速度的平行四边形叠加法则，从静系K考察，质点速度U由公式14决定：

U2=（dxdt）2+（dydt）2。

其中，由公式13对t求导可知，=dxdt=（wξ+υ）[（1+υ·wξV2）]，

=dydt=√[（1-υ2V2）]（1+υ·wξV2）。

由速度的平行四边形叠加法则和三角函数可知：

w2=wξ2+wη2，wξ=w·cosα，wη=w·sinα。

其中，α为动系k相对于静系K的速度v和质点速度w之间的交角。

将上述导数和速度值代入公式14可得公式15：

U=√{[（υ2+w2+2υw·cosα）-（υw·sinα）2][1+υw·cosαV2]}

特别情况下，当质点速度w方向为动系中的Ξ轴或者静系中的X轴时，交角α为0°，即动系k相对于静系K的速度v和质点速度w同向时，公式15变为公式16：

U=（υ+w）（1+υwV2）。

由公式16可知，由两个小于光速V的速度合成而得的速度总是小于光速，具体证明如下，设υ=V-k，w=V-l，代入公式16则为：

U=V（2V-k-l）（2V-k-l+klV）

同时，由公式16还可以看出，光速V不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变，依然为光速V。设动系k相对于静系K的速度v为光速V，将其代入公式16可得：

U=（υ+w）（1+wV）=V。

在第五部分的最后，爱因斯坦还提到了另一种速度变换的情况，引入第三个坐标系k′，其原点在动系k的Ξ轴以速度w运动，则静系K与第三个坐标系k′的关系也可以用公式10的洛伦兹变换处理，与动系k的区别仅仅是将动系k相对于静系K的速度v改为公式16算出的U即可。也就是说动系k原点相对于静系K速度为v，第三个坐标系k′原点相对于静系K的速度为U=（υ+w）（1+υwV2）。

讨论完上面的几种速度变换后，爱因斯坦以一句话结束了论文第五部分，也结束了论文的第一大部分运动学部分，并预告下面的部分讨论第二大部分电动力学部分：“我们现在已经依照我们的两条原理推导出运动学的必要命题，我们要进而说明它们在电动力学中的应用。”