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45狭义相对论第3部分洛伦兹变换45（第2页）

（注：从静系Y轴Z轴考察光线沿着动系H轴Z轴传播时速度为√（V2-υ2）。）

x′=0

（注：光线沿着动系H轴Z轴传播时从动系考察其坐标原点Ξ轴坐标值x′为0。）

将√（V2-υ2）=t和x′=0代入上述公式，可得公式7：η=ayV√（V2-υ2）

同样考察过程可得公式8：ζ=azV√（V2-υ2）

代入x′=x-vt，可得下列关系式9：

τ=ψ（υ）β（t-xυV2），

ξ=ψ（υ）β（x-υt），

η=ψ（υ）y，

ζ=ψ（υ）z。

其中，β=1√[1-（υV）2]，ψ（υ）为未知函数。

（注：直接代入x′=x-vt得出的关系式具体关系式9′为：

τ=a·（t-xυV2）[1-（υV）2]；

ε=a·（x-υt）[1-（υV）2]；

η=a·1√[1-（υV）2]·y；

ζ=a·1√[1-（υV）2]·z。

将上述结果都除以因子1√[1-（υV）2]便得出了上述的关系式9，而且简单说所谓的未知函数ψ（υ）就是a·1√[1-（υV）2]。）

得出关系式9后，爱因斯坦在论文中又大段讨论了未知函数ψ（υ）如何确定，设计了t=τ=0时，静系动系坐标原点重合的情况下，从原点发射光球面波的坐标方程为x2+y2+z2=V2t2和ξ2+η2+ζ2=V2τ2，由此做出了光速不变原理和狭义相对性原理对静系和动系坐标系同时成立的结论；

又引入了第三个坐标系K′，相对于动系k的Ξ轴平行移动，其坐标原点在Ξ轴以-v速度移动，t=0时，静系K动系k和第三坐标系K′原点重合，t=x=y=z=0时，K′的时间t′为0，通过两次运用变换方程得到下列关系式：

t′=ψ（-υ）β（-υ）（τ+ξυV2）=ψ（υ）ψ（-υ）t，

x′=ψ（-υ）β（-υ）（ξ+υτ）=ψ（υ）ψ（-υ）x，

y′=ψ（-υ）η=ψ（υ）ψ（-υ）y，

z′=ψ（-υ）ζ=ψ（υ）ψ（-υ）z。

对上述关系式，爱因斯坦在论文中还做了文字说明：“由于x′，y′，z′同x，y，z之间的关系中不含有时间t，所以K同K′这两个坐标系是相对静止的，而且，从K到K′的变换显然也必定是恒等变换。因此：ψ（υ）ψ（-υ）=1。”

之后，加入了垂直于轴运动的杆由于对称的缘故，在静系中量得的长度显然必定只同运动的速度有关，而同运动的方向和指向无关的说法，最终讨论论证关系式ιψ（υ）=ιψ（-υ），由此，得出ψ（υ）=1，关系式9则变为关系式10（即洛伦兹变化公式）：

τ=β（t-xυV2），

ξ=β（x-υt），

η=y，

ζ=z。

β=1√[（1-υ2V2）]

其实，在不太专业或者学术上也不太严谨的笔者看来，由关系式9（甚至关系式9′）可以直接得出关系式10，因为论文中设定的静系K和动系k的关系直观的决定了η=y和ζ=z，只要将η=y或ζ=z代入关系式9（甚至关系式9′），就可以直接得到公式10的洛伦兹变换公式。

得到公式10，即狭义相对论提出之前就已由洛伦兹导出的关系式后，论文第三部分就正式结束了，这也是论文理论推导中最核心的部分，论文剩下的部分就是对公式10的应用，将它们代入不同的运动学和电动力学公式，便得出了狭义相对论性的相关方程。